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Roulette - Numeri casuali e pseudocasuali

Probabilità & Statistica

(Marcello Guidotti)
Immaginiamo di avere un'urna contenente dieci tessere numerate da 0 ad 1, e che queste vengano estratte una dopo l'altra. Supponiamo di aver ottenuto in sequenza questa estrazione:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

certamente saremmo rimasti sorpresi. D'altra parte, non ci saremmo sorpresi se avessimo ottenuto questa estrazione:

5, 1, 2, 7, 4, 9, 6, 0, 8, 3

eppure, le due serie di estrazioni hanno la stessa probabilità di presentarsi così come le abbiamo scritte. L'unica differenza è che la prima estrazione presenta una evidente regolarità che la rende sorprendente. Però, la nostra sorpresa sarebbe la stessa se prima di effettuare la seconda estrazione avessimo riportato su un foglietto la stessa sequenza e, poi procedendo con l'estrazione avessimo confermato la nostra previsione. In effetti, nessuno ha in mente i numeri che compongono la seconda sequenza ed è per questo che ci appaiono inaspettati rispetto alla prima sequenza.
Dunque, la regolarità è solo un criterio per distinguere un'estrazione dall'altra, ma non ha niente a che vedere con la probabilità: entrambe le sequenze di estrazioni hanno la stessa probabilità di verificarsi.
La cosa cambia aspetto se ad un'ulteriore terza estrazione otteniamo ancora una delle due sequenza già uscite. Infatti, la probabilità che si presenti nuovamente una delle due sequenze è del tutto trascurabile (per gli elementi di calcolo delle probabilità, v. l'equazione per scovare i "maraltziani"):

(1/10)x(1/9)x(1/8)x(1/7)x(1/6)x(1/5)x(1/4)x(1/3)x(1/2)x1= 0,00000027

Questa osservazione ci serve per chiarire il concetto di sequenza casuale.

Cosa significa dire che una sequenza di numeri è casuale? Consideriamo le due sequenze formate da 0 e 1:

a) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

b) 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1

Intuitivamente siamo portati ad affermare che la sequenza (a) non è casuale poiché è riconoscibile una regolarità oppure un algoritmo in grado di generarla, del tipo "scrivi dieci volte 1 e 0 in sequenza".
Al contrario, non siamo in grado di individuare alcuna periodicità per la sequenza (b), e non sembra che esista alcuna regola che ne determini la formazione; così, attribuiamo la sua generazione ad un evento casuale (per esempio, ottenuto lanciando per venti volte una moneta e segnando 0 e 1 rispettivamente ogni volta che si è ottenuta testa e "croce").
Però, ad un'attenta analisi, l'argomentazione proposta per distinguere sequenza regolari da sequenze casuali, si dimostra non del tutto convincente in quanto nulla vieta di pensare che anche la sequenza (a) possa essere stata generata associando 0 e 1 ai risultati dei lanci della stessa moneta che, in tal caso, si sarebbero presentati con testa e croce alternativamente per venti volte.
Consideriamo altre due sequenze formate dai primi dieci numeri interi con possibilità di ripetizione:

c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d) 4 3 2 3 4 6 3 5 4 4

È immediato ritenere la sequenza (c) apparentemente non casuale, e casuale la sequenza (d). Eppure, la sequenza, (d) risulterebbe non casuale, se si conoscesse il metodo con cui è stata generata. In particolare, la sequenza è stata scritta contando le e lettere che compongono ogni cifra della prima sequenza: zero (4); uno (3); due (3); tre (3); ... nove (4);...
Da quanto discusso, potremmo pensare che la casualità sia un concetto soggettivo, basato sulla possibilità di individuare o non individuare come è stata prodotta una determinata sequenza. Quindi, ciò che è casuale per una persona ignara del metodo di generazione non lo è per altre che ne sono a conoscenza.
Questa osservazione non può certo lasciarci soddisfatti; tuttavia, esistono altri criteri per cercare di definire oggettivamente la casualità di una sequenza di numeri.
Tra le più note proposte di caratterizzazione formale della casualità matematica (quali criteri debba soddisfare una sequenza di numeri per essere casuale) possiamo ricordare:

criterio di von Mises: negli anni '20, M. elaborò una teoria secondo la quale una sequenza di numeri è casuale quando presenta la stessa caratteristica propria degli eventi che si presentano nei giochi d'azzardo. Ora, nei giochi d'azzardo non esiste alcun sistema che, a lungo andare, aumenti le possibilità di vittoria. Infatti, requisito essenziale perché una sequenza possa definirsi casuale è la completa assenza di regole che possano essere applicate con successo per migliorare le previsioni circa il numero successivo. Questo principio prende il nome di principio dell'impossibilità di un sistema di gioco o assioma del disordine.

Tuttavia, il criterio di von Mises presenta una evidente ambiguità quando è applicato a sequenze infinite, in quanto viene a mancare la possibilità di qualsiasi controllo effettivo della casualità della sequenza stessa. Per esempio, consideriamo una sequenza del tipo:

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 [...] 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ...

supponiamo che questa, dopo aver mostrato una regolarità continua per un numero N grande a piacere di 1 e 0, alla fine presenti una irregolarità: in questo caso è corretto parlare di sequenza casuale. Così, si pone il problema di come controllare empiricamente questo genere di casualità: quanti elementi dobbiamo considerare come "inizio" e quanti come "fine"?

criterio di Popper: negli anni '30, Popper propose un altro tipo di sequenza casuale: una sequenza finita, di cui si può dire che è casuale "fin dall'inizio". Per Popper le sequenze casuali sono costruite con una regola matematica, in modo tale che di un segmento finito, corto o lungo che sia, si possa dire che è tanto casuale quanto è consentito dalla lunghezza del segmento stesso.

Le idee di Popper si ritrovano nei sistemi fondati su algoritmi per costruire sequenze di numeri casuali. Sebbene detto criterio abbia un carattere piuttosto artificioso, le sequenze generate con i metodi matematici sono quelle che vengono comunemente adoperate. Tuttavia, è chiaro che se conosciamo la regola con cui costruire una sequenza, questa non è più definibile a rigore come casuale: ogni numero è infatti predicibile con probabilità uguale al 100%.

criterio di von Neumann: esistono dei procedimenti matematici per determinare la "bontà" di un generatore di numeri casuali. Questi metodi si fondano sull'assunto che ogni numero casuale sia equiprobabile e dunque l'estrazione di N numeri diversi dia luogo ad una distribuzione uniforme. Questi test matematici (p. es. Chi-Quadro), sono utili, però è sempre meglio dare un'occhiata alla serie di numeri ottenuta, fidando dunque anche nel buon senso.

criterio di Turing: un'alternativa pratica è offerta da un criterio ricavato dal test di Turing: se una sequenza numerica generata da estrazioni meccaniche è apparentemente indistinguibile da quella generata da un algoritmo, allora anche quest'ultima può considerarsi casuale.

Molti siti web propongono giochi d'azzardo in rete. Questi giochi sono costruiti mediante sequenze di numeri pseudo-casuali generati dal computer. Ora, questa circostanza potrebbe indurre il giocatore a tentare di individuare un sistema per vincere. Non fatelo... sebbene in teoria la cosa sia possibile, è più probabile che veniate spiumati, proprio come un pollo!

* * *

Nel 1987, a séguito di un controllo sulle estrazioni del Lotto, fu scoperto che nelle ruote di Milano e Genova non tutte le palline avevano lo stesso peso come stabilito dal regolamento. Le irregolarità nelle estrazioni del lotto emerse in precedenti concorsi potrebbero quindi essersi verificate già da parecchi anni. A Milano, il peso delle sfere oscillava tra 70 e 47 grammi, mentre A Genova 25 palline pesavano tra 80 e 84 grammi e 65 palline tra 64 e 67 grammi. Il regolamento del lotto stabilisce che tutte le palline devono essere uniformi e di uguale peso, per evitare che durante il mescolamento quelle più pesanti si depositino al fondo del recipiente con minori possibilità di essere "pescate".
Questa forzata "anomalia" nella distribuzione delle sfere, permetteva di ridurre notevolmente la complessità dei sistemi elaborati per la vincita. Ma questa è una cosa ben diversa che scoprire l'algoritmo generatore di numeri pseudo-casuali.
Anche per il Bingo, nonostante la gestione elettronica del gioco e delle vincite, l'estrazione della pallina è eseguita da una speciale macchina meccanica posta al centro della sala o in una posizione visibile dalla maggior parte delle postazioni di gioco.