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Intergale difficile Come si risolve il seguente integrale ? sqrt ( 3x-2-x^2 )	Riccardo	mercoledì 11 giugno 2003 - 22.41.45
Integrale difficile,ma non troppo! Si scrive I=Int[sqrt(-x^2+3x-2)]dx Affinchè l'integrale abbia senso nell'ambito dei reali,deve essere: -x^2+3x-2>=0 ovvero 1<=x<=2. Si completa il quadrato: -x^2+3x-2=-[x^2-3x+9/4+2-9/4]= =-[(x-3/2)^2-1/4]=1/4-(x-3/2)^2 quindi I=Int[sqrt(1/4-(x-3/2)^2)]dx Si pone y=x-3/2 (da cui dx=dy) e si ottiene I=Int[sqrt(1/4-y^2)]dy Avendo supposto 1<=x<=2, si ha che -1/2<=y<=1/2. Si fa l'ulteriore sostituzione: 2y=sin(t), da cui t=arcsin(2y) dy=1/2*cos(t) Questa sostituzione è lecita in quanto -1<=2y<=1. I=1/2 Int[sqrt(1-(sin(t))^2)*(1/2)cos(t)]dt= =1/4*Int[(cos(t))^2]dt=1/8[t+sin(t)cos(t)]+c (con c=cost.) Sostituendo il valore di t assegnato prima, si ha in y: I=1/8[arcsin(2y)+2y*sqrt(1-4y^2)]+c in x: I=1/8[arcsin(2x-3)+(2x-3)*sqrt(1-(2x-3)^2)]+c che è l'integrale indefinito cercato!	Andrea P.	lunedì 16 giugno 2003 - 15.35.46