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funzione in 2 variabili ho un quesito a cui spero di trovare risposta: data la fz: f(x,y)=((x-y)^2)*sen(1/(x-y)) 1)determinare il dominio. 2)dire se e dove si puo' prolungare con continuita' 3)studiare l'esistenza delle derivate parziali della fz prolungata. 4)studiare la differenziabilita' della fz prolungata. grazie a chiunque risponda	oldfox	martedì 14 settembre 2004 - 11.26.19
Funzione in 2 var. La fuzione f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) è definita e continua su tutto R2, escluso tutti i punti (x,y) tali che x=y (infatti per tali valori l'argomento del seno va + o - infinito). Quindi si può dire che il suo Dominio sia: R2\{(x,y):x=y}. Leggi: "tutto R2 esclusi i punti tali che x=y" Per estendere la funzione per continuità è necessario calcolare il limite per x->y della f(x,y) ed accertarsi che tale limite sia finito; vediamo: poniamo z=x-y, allora la funzione f(x,y) diviene: f(x,y)=f(z)=z^2*sin(1/z) per x->y z->0 quindi il limite cercato è uguale al limite: lim(z->0) f(z) Ora,per z->0, z^2 tende a zero mentre sin(1/z) resta comunque limitato tra -1 e +1. Per un noto teorema sui limiti (Riportato, tra l'altro, nel Prontuario) "il limite di una funzione limitata per una tendente a zero, vale zero". Si conclude che: lim(z->0) f(z)=0 e quindi lim(x->y) f(x,y)=0. Quindi per prolungare la continuità di f(x,y), basta "ribattezzarla" nel seguente modo: f(x,y)=(x-y)^2*sin(1/(x-y)) per x diverso da y f(x,y)=0 per x=y Allora f(x,y) così definita, è continua su tutto R2. Per quanto riguarda le derivate parziali, si ha: df/dx=2(x-y)sin(1/(x-y))-cos(1/(x-y)) df/dy=-2(x-y)sin(1/(x-y))+cos(1/(x-y)) quindi si osserva che df/dx=-df/dy Si osserva che queste sono entrambe definite su R2\{(x,y):x=y}, ed in tale intervallo sono continue. Riepilogando; la funzione f(x,y) ammette derivate parziali su R2\{(x,y):x=y} e queste sono continue nel medesimo intervallo; si deduce (in base ad un altrettanto noto teorema) che la funzione f(x,y) è differenziabile in tale intervallo.	Andrea P.	mercoledì 15 settembre 2004 - 20.47.45
riposta ti ringrazio molto, anche io avevo intrapreso questa strada per risolvere il problema, ma visto che sara' una domanda d'esame, volevo essere sicuro al 100%	oldfox	mercoledì 15 settembre 2004 - 21.10.31
dubbio mi e' venuto un dubbio.... se applico la definizione di derivata parziale ai punti (x0,x0) [leggi x-zero, x-zero] ovvero i punti x=y a me viene zero il limite(esiste ed e' finito), dunque f nn dovrebbe essere derivabile su tutto R2??? ho provato a farlo anche applicando la definizione di differenziale ai punti della retta y=x, ma nn riesco a calcolare il limite....(forse viene 1, dunque diverso da zero e nn differenziabile)	oldfox	giovedì 16 settembre 2004 - 9.29.59
Derivata Parziale Dopo un'attenta analisi, risulta che: la funzione prolungata è Continua e Differenziabile su tutto R2, ma non è di classe C1! Per mancanza di tempo non ho potuto pubblicare i vari passaggi che portano al suddetto risultato, ma provvederò al più presto.	Andrea P.	giovedì 16 settembre 2004 - 12.14.17
Soluzione La soluzione dell'esercizio è contenuta nel file ''Analisi2(40).zip''<br>nella sezione Analisi 2.<br>Per mancanza di tempo è riportata in formato *.txt, ed in parte<br>è costituita da scansioni di manoscritti.	Andrea P.	mercoledì 22 settembre 2004 - 23.16.56