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Analisi 2 - Limiti e dubbi
Ciao a tutti

Ho alcuni dubbi su dei limiti di funzioni in due variabili, potreste aiutarmi a scioglierli?

1 - So che il limite per (x,y)->(0,0) di

(sin(x)sin(y))/(x2+y2)

non esiste. Come posso dimostrarlo? Passando a coordinate polari mi
viene fuori una forma "inutile" - ho la fase al denominatore.

2 - Il dubbio "estetico":
so che non esiste

lim (y/x).
x->0
y->0

Posso appellarmi a questo fatto ed alla continuità della funzione
arcotangente per asserire che non esiste neppure

lim arctan(y/x)
x->0
y->0

3 - Non so come commentarla:
So che non esiste

lim (1+xy)/x2
x->0
y->0

ma non so determinarlo (facile guardare nelle soluzioni dei libri, un
po' piu' difficile capirle).

4 - Infine, consigli generali:
come faccio a smazzarmi dei limiti (per x,y->0,0)del tipo xln(y^k) oppure kx^(hy)?
Ad occhio non mi sembra esistano, ma da li' a mostrarlo...

Ogni aiuto e' gradito!

ALF
Azrael La Fay domenica 23 maggio 2004 - 13.32.53
Soluzioni
Scusami per il ritardo!!


1) Dimostriamo che il limite per (x,y)->(0,0) di

(sin(x)sin(y))/(x^2+y^2) non esiste.

Per la restrizione y=0, si ha che il limite

valga banalmente 0.

Per la restrizione y=x, si ha:

sin^2(x)/(2*x^2) e si osserva banalmente che tale

limite, per x->0, valga 1/2.

2) la risposta è SI.

3) NO!, il limite esiste e vale +oo: Vedi file

Analisi2(39).zip nella pagina

dedicata all'analisi 2

4)Se hai dei buoni motivi per credere che il limite non

esista, è sufficiente trovare 2 restrizioni opportune che

ammettano limiti diversi.Ti consiglio, in prima analisi
di plottare la funzione (magari con Derive p Matlab) in

3D,ed osservare cosa "fa" nei pressi dell'origine, se fa

"cose strane" ci sono delle buone probabilità che il

limite effettivamente no esista.
Purtroppo non ho molto tempo a mia disposizione per

affrontare anche il 4° quesito, quindi accontentati di

questo suggerimento!
Andrea P. mercoledì 26 maggio 2004 - 15.23.31