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Intergale difficile
Come si risolve il seguente integrale ?

sqrt ( 3x-2-x^2 )


Riccardo mercoledì 11 giugno 2003 - 22.41.45
Integrale difficile,ma non troppo!
Si scrive
I=Int[sqrt(-x^2+3x-2)]dx

Affinchè l'integrale abbia senso
nell'ambito dei reali,deve essere:

-x^2+3x-2>=0 ovvero 1<=x<=2.

Si completa il quadrato:

-x^2+3x-2=-[x^2-3x+9/4+2-9/4]=
=-[(x-3/2)^2-1/4]=1/4-(x-3/2)^2

quindi I=Int[sqrt(1/4-(x-3/2)^2)]dx

Si pone y=x-3/2 (da cui dx=dy) e si ottiene

I=Int[sqrt(1/4-y^2)]dy

Avendo supposto 1<=x<=2, si ha che -1/2<=y<=1/2.

Si fa l'ulteriore sostituzione:
2y=sin(t), da cui
t=arcsin(2y)
dy=1/2*cos(t)

Questa sostituzione è lecita in quanto
-1<=2y<=1.

I=1/2 Int[sqrt(1-(sin(t))^2)*(1/2)cos(t)]dt=
=1/4*Int[(cos(t))^2]dt=1/8[t+sin(t)cos(t)]+c

(con c=cost.)

Sostituendo il valore di t assegnato prima, si ha

in y: I=1/8[arcsin(2y)+2y*sqrt(1-4y^2)]+c

in x: I=1/8[arcsin(2x-3)+(2x-3)*sqrt(1-(2x-3)^2)]+c
che è l'integrale indefinito cercato!
Andrea P. lunedì 16 giugno 2003 - 15.35.46