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| Teorema funzione implicita Ho un esercizio che mi sta facendo arrovellare il cranio e ringrazio chiunque mi aiuti a venire a capo della soluzione. Vado a spiegare il problema. Sia F(x,y) funzione a valori reali di due variabili definita e C1 in tutto R^2. Siano Fx(x,y) ed Fy(x,y) le sue derivate parziali (che sono continue per ipotesi). Sia (x0,y0) un punto di R^2 tale che F(x0,y0)=0 ed Fy(x0,y0)>0. Allora il teorema della funzione implicita mi dice che esiste un intervallo di R (a,b) che contiene x0 ed una funzione h:(a,b)--->R C1 in (a,b) che verifica h(x0)=y0 per ogni x in (a,b) F(x,h(x))=0, Fy(x,h(x))>0 e h'(x) = -Fx(x,h(x)) / Fy(x,h(x)). Questo mi dice il teorema della funzione implicita. Ora il mio problema è questo che segue. Supponiamo che vicino a b e precisamente per ogni x in (b-epsilon,b) si abbia Fy(x,h(x)) > k con k costante positiva. Con questa ipotesi io voglio dimostrare che è possibile prolungare l'intervallo di esistenza della funzione h in b e un po' oltre b, cioè in [b,b+delta) con delta positivo. Se ad esempio sapessi che esiste finito il lim (x-->b) h(x) = l potrei considerare il punto (b,l) di R^2 dove (per continuità) continuano a valere le ipotesi del teorema della funzione implicita, e avrei fatto. Il guaio è che non so se questo limite esiste finito. Ho scoperto che se questo limite non esiste finito allora necessariamente (ma non vale il viceversa) maxlim (x-->b) abs(h'(x)) = + infinito. dove abs è il valore assoluto. Se riuscissi allora a dimostrare che h'(x) è limitata in (b-epsilon,b) avrei concluso. Ma come diavolo faccio? Sono 6 giorni che cerco di venire a capo di questo quesito. Sono anche sicuro che non è niente di difficile e che si tratta solo di imboccare il ragionamento giusto. Grazie a chiunque dimostri interessamento. Ciao da andrea_the_cat! -------------------------------------------------------------------------------- |
Andrea Palma | martedì 27 agosto 2002 - 17.47.10 |
| Dimostrazione teo. del Dini Forse sono il primo ad aver letto il tuo quesito, e quindi proverò per primo a rispondere. Fra le dimostrazioni che hai proposto, a te necessarie per raggiungere il tuo scopo, quella che al momento mi pare più immediata e quella riguardante la limitatezza di h'(x) nell'intervallo ]b-epsilon,b[ In tale intervallo h(x) esiste ed è di classe C1 (in virtù dell'esistenza di un corollario del teorema del Dini che afferma che: se f(x,y) è di classe Ck allora anche h(x) è di classe Ck. Se non ti fidi di tale corollario, puoi sempre osservare che (come tu hai già considerato) h'(x)=-Fx(x,h(x))/Fy(x,h(x)). h'(x) è, quindi, un rapporto di funzioni continue (infatti F(x,y) è di classe C1) inoltre Fy(x,h(x))>0 per cui h'(x) (funzione composta da funz. continue) è continua. Per il teorema di Weiestrass (che riporto, per comodità, in fondo alla presente) h'(x) è limitata in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in ]b-epsilon,b[ TEOREMA di Weiestrass Sia data una funzione reale "f", definita e continua in un sottoinsieme D di R, allora in ogni intervallo chiuso e limitato di D la "f" assumerà valor massimo e minimo FINITI. Spero di esserti stato utile, saluti: Andrea P. |
Andrea P. | venerdì 30 agosto 2002 - 18.21.57 |
| Grazie ma non capisco... Innanzitutto grazie 1000 per l'interessamento. Sei molto gentile. Ma non riesco a capire una cosa. Sono daccordo che h'(x) esiste ed è continua in ]a,b[ e qundi anche in ]b-epsilon, b[ Tuttavia siccome ]b-epsilon,b[ è aperto non posso usare il teorema di Weierstrass! Sono 6 giorni ed oltre che sto impazzendo su questo problema! Aiuto! |
andrea palma | sabato 31 agosto 2002 - 0.31.07 |
| Teorema di Weierstrass Si, in questi termini hai ragione, ma di solito con la simbologia (a,b) si intende un intervallo APERTO, quindi è escluso il punto "b". Il teorema di W. è applicabile in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in ]b-epsilon,b[, quindi l'unico punto (non intervallo) sul quale potrebbero esserci problemi è b, perché in b-epsilon è garantita la limitatezza di h'(x). Io intendevo dimostrare che nell’intervallo ]b-epsilon,b[ h’(x) sia limitata (trascuro, quindi gli estremi); tu intendevi dimostrare che h’(x) sia limitata in [b-epsilon-b]! Proverò a seguire un'altra strada per arrivare alla conclusione voluta. La F(x,y) è definita e continua su tutto R2,quindi esisterà F(b,y1)=K (dove y1 è un’ordinata qualsiasi). Consideriamo la nuova funzione F1(x,y)=F(x,y) - K Si ha che F1(b,y1)=0 e F1y(x,y)>0 (per ipotesi); resta verificato il teorema del Dini, quindi esisterà una funzione h1(x) definita in intervallo ]c,d[ contenente b tale che h1’(x)=-F1x(x,y)/F1y(x,y). F(x,y) ed F1(x,y) differiscono per una costante quindi F1x(x,y)=Fx(x,y) ed F1y(x,y)=Fy(x,y). Resta dimostrato che h(x)=h1(x), il ragionamento può essere iterato quindi la h(x) esiste sempre. Con la speranza che non ci siano errori di valutazione, credo che ciò possa bastare ai tuoi scopi. In caso ci fossero delle sviste da parte mia, mi auguro che quanto esposto possa suggerirti una strada alternativa. Auguri! |
Andrea P | sabato 31 agosto 2002 - 11.49.23 |
| OTTIMO DIREI! Grazie Andrea P. Mi hai convinto! E salvato dalla rovina! :) A presto! |
andrea Palma | domenica 1 settembre 2002 - 11.42.59 |