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Geometria Dati i punti A(2,0), B(1,-4) e una retta r: 3x-y=0, devo trovare i punti C di r tali che l'area del triangolo ABC sia 3.Un consiglio... (ho provato a trovare i minori della matrice, dopo aver uguagliato il Det a 6) Devo trovare l'eq. del piano contenente r: 4x-y+z=x+9z=0 e s: x-3z=y-z=0 Determinare t per i quali le rette r: tx+2y+8=0 s: tx+(t-4)y+12=0 sono parallele o coincidenti. Ho provato ad uguagliare il Det a 0, ma mi si impiccia tutto :-( Ho P(3,1,0), determinare i piani paralleli a a: x+3y+2z=0, tali che la distanza di P dai piani sia 1/14^(-2) Ho A ( 4 1 : trovare autovalori e autovettori 10 1)	Asteron	sabato 9 marzo 2002 - 14.57.34
Geometria Ti invio le soluzioni dei quesiti che mi hai posto: Esercizio 1 La prima cosa da fare è trovare l'equazione della retta per A-B, l'equazione generica è: y=mx+q con m=(yA-yB)/(xA-xB)=(0+4)/2-1)=4. La reta deve passare (oltre che da B) da A=(2,0), quindi deve essere: 0=4*2+q --> q=-8. L'equazione cercata è: y=4x-8. Adesso si ricava la lunghezza del segmento AB: AB=sqrt((xA-xB)^2+(yA-yB)^2)=sqrt(17) sqrt=radice quadrata Adesso, se indichiamo con "d" la distanza della retta per AB dal punto C, basta imporre: (AB*d)/2=3 ovvero l'area del triangolo deve essere uguale a 3, ciò implica d=6/sqrt(17). Come è risaputo (e facilmente dimostrabile) la distanza di un punto da una retta è data dalla relazione: d=|m*x-y+q|/sqrt(1+m^2) dove "x" ed "y" sono rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto in questione; mentre "m" e "q" sono il coeff. angolare ed il termine noto della retta. Il punto (o i punti) C ha coordinate xC ed yC, tali però (deve appartenere alla retta y=3x) che: yC=3xC, quindi per noi l'espressione della distanza diviene: d=|m*xC-3xC+q|/sqrt(1+m^2)=|4xC-3xC-8|/sqrt(17) --> d=|xC-8|/sqrt(17). Dall'espressione dell'area precedentemente considerato, si ha: |xC-8|/sqrt(17)=6/sqrt(17) --> |xC-8|=6 le cui soluzioni (ricordando la definizione di valore assoluto) sono: xC1=14 a cui corrisponde yC1=42 xC2=2 a cui corrisponde yC2=6 In definitiva i punti cercati sono: P1=(14,42) P2=(2,6). Esercizio 2 Le rette r s 4x-y+z=0 x-3z=0 x+9z=0 y-z=0 hanno rispettivamente equazioni parametriche: r s x=-9t x=3t y=-35t y=t z=t z=t (basta considerare z=t come parametro e sostituire nelle equazioni) quindi "r" è parallela al vettore a=(-9,-35,1), mentre "s" è parallela al vettore b=(3,1,1) Le rette "r" ed "s" non sono sghembe, ma hanno un punto di intersezione che è l'origine (0,0,0), quindi l'equazione parametrica del piano di appartenenza è data da: x-0=-9w+3v x=-9w+3v y-0=-35w+v ovvero y=-35w+v z-0=w+v z=w+v dove "w" e "v" sono i parametri variabili in R. Ricavando "w" e "v" da due delle precedenti equazioni e sostituendo nella terza, si ottiene l'equazione cartesiana del piano, che è: 3x-y-8z=0 Esercizio 3 Dalle equazioni in forma implicita: tx+2y+8=0 tx+(t-4)y+12=0 si ricavano le corrispettive in forma esplicita: y=-t/2x-4 y=-t/(t-4)x-12/(t-4) Le due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi: -t/2=-t/(t-4) --> t/(t-4)-t/2=0 <--> (t^2-6t)=0 ovvero quando t=0 oppure t=6 Le rette non possono essere coincidenti, in quanto per esserlo devono avere lo stesso coeff. angolare e lo stesso termine noto; sia per t=0 che per t=6 non si ha equivalenza del termine noto! Esercizio 4 L'equazione generica del piano parallelo al piano dato, è: x+3y+2z+d=0. Dato un piano di equazione ax+by+cz+d=0 ed un punto P=(p1,p2,p3), la distanza del piano dal punto dato è: |a*p1+b*p2+c*p3+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2) Ora credo che il valore che deve avere la distanza sia 1/sqrt(14), e non come hai scritto tu 1/14^(-2) che è uguale a 14^2 (vero??). Quindi deve essere: |3+3+d|/sqrt(14)=1/sqrt(14) da cui: |d+6|=1, quest'ultima ha le seguenti soluzioni: d=-5 d=-7 i piani cercati hanno equazione: x+3y32z-5=0 x+3y32z-7=0 Esercizio 5 Data la matrice A= (4 1 10 1) i suoi autovalori si determinano risolvendo det[vI-A]=0 dove "v" è il generico autovalore, mentre I è la matrice identità 2x2. det[vI-A]=0 --> (v-4)*(v-1)-10=0 da cui v1=6 e v2=-1 (che sono gli autovalori cercati) Per gli autovettori bisogna risolvere: (v1I-A)*w_1=0 dove w_1 è l'autovettore associato all'autovalore v1 (v2I-A)*w_2=0 dove w_2 è l'autovettore associato all'autovalore v2 considerando w_1=(w_1x,w_1y) e w_2=(w_2x,w_2y) si pone per w_1, w_1x=1 e si ricava w_1y=2, quindi w_1=(1,2) e se si vuole normalizzare w_1=1/sqrt(5)*(1,2). Per w_2, w_2x=1 e si ricava w_1y=-5, quindi w_1=(1,-5) e se si vuole normalizzare w_1=1/sqrt(26)*(1,-5). Spero che l'esposizione sia chiara, e spero di non aver commesso errori di calcolo! Cordialmente: Andrea Praticò	Andrea P.	sabato 9 marzo 2002 - 15.57.30